Java中Prime算法的原理与实现代码解析
本篇文章小编给大家分享一下Java中Prime算法的原理与实现代码解析，文章代码介绍的很详细，小编觉得挺不错的，现在分享给大家供大家参考，有需要的小伙伴们可以来看看。
1.点睛
在生成树的过程中，把已经在生成树中的节点看作一个集合，把剩下的节点看作另外一个集合，从连接两个集合的边中选择一条权值最小的边即可。
2.算法介绍
首先任选一个节点，例如节点1，把它放在集合U中，U={1},那么剩下的节点为V-U={2,3,4,5,6,7},集合V是图的所有节点集合。
现在只需要看看连接两个集合（U和V-U）的边中，哪一条边的权值最小，把权值最小的边关联的节点加入集合U中。从上图可以看出，连接两个集合的 3条边中，1-2边的权值最小，选中它，把节点 2加入集合U中，U={1,2}，V -U={3,4,5,6}，如下图所示。
再从连接两个集合（U和V-U）的边中选择一条权最小的边。从上图看出，在连接两个集合的4条边中，节点2到节点7的边权值最小，选中这条边，把节点7加入集合U={1,2,7}中，V-U={3,4,5,6}。
如此下去，直到U=V结束，选中的边和所有的节点组成的图就是最小生成树。这就是Prim算法。
直观地看图，很容易找出集合U到集合U-V的边中哪条边的权值是最小的，但在程序中穷举这些边，再找最小值，则时间复杂度太高。可以通过设置数组巧妙解决这个问题，closet[j]表示集合V-U中的节点j到集合U中的最邻近点，lowcost[j]表示集合V-U中节点j到集合 U中最邻近点的边值，即边(j,closest[j])的权值。
例如在上图中，节点 7到集合U中的最邻近点是2，cloeest[7]=2。节点 7到最邻近点2的边值为1，即边(2,7)的权值，记为lowcost[7]=1,如下图所示。
所以只需在集合V -U中找到lowcost[]只最小的节点即可。
3. 算法步骤
1.初始化
令集合U={u0}，u0属于V，并初始化数组closest[]、lowcost[]和s[]。
2.在集合V-U中找lowcost值最小的节点t，即lowcost[t]=min{lowcost[j]},j属于V-U，满足该公式的节点t就是集合V-U中连接U的最邻近点。
3.将节点t加入集合U中。
4.如果集合V - U为空，则算法结束，否则转向步骤 5。
5.对集合V-U中的所有节点j都更新其lowcost[]和closest[]。if(C[t][j]
按照上面步骤，最终可以得到一棵权值之和最小的生成树。
4.图解
图G=（V,E）是一个无向连通带权图，如下图所示。
1初始化。假设u0=1，令集合U={1},集合V-U={2,3,4,5,6,7},s[1]=true，初始化数组closest[]：除了节点1，其余节点均为1，表示集合V-U中的节点到集合U的最邻近点均为1.lowcost[]:节点1到集合V-U中节点的边值。closest[]和lowcost[]如下图所示。
初始化后的图为：
2找lowcost最小的节点，对应的t=2，选中的边和节点如下图。
3加入集合U中。将节点t加入集合U中，U={1,2}，同时更新V-U={3,4,5,6,7}
4更新。对t在集合V-U中的每一个邻接点j,都可以借助t更新。节点 2的邻接点是节点 3和节点7。
C[2][3]=20
C[2][7]=1
更新后的 closest[]和lowcost[]如下图所示。
更新后的集合如下图所示：
5找lowcost最小的节点，对应的t=7，选中的边和节点如下图。
6 加入集合U中。将节点t加入集合U中，U={1,2,7}，同时更新V-U={3,4,5,6}
7更新。对t在集合V-U中的每一个邻接点j,都可以借助t更新。节点 7的邻接点是节点 3、4、5、6。
C[7][3]=4
C[7][4]=4
C[7][5]=4
C[7][6]=4
更新后的 closest[]和lowcost[]如下图所示。
更新后的集合如下图所示：
8找lowcost最小的节点，对应的t=3，选中的边和节点如下图。
9 加入集合U中。将节点t加入集合U中，U={1,2,3,7}，同时更新V-U={4,5,6}
10 更新。对t在集合V-U中的每一个邻接点j,都可以借助t更新。节点 3 的邻接点是节点 4。
C[3][4]=15>lowcost[4]=9，不更新
closest[]和lowcost[]数组不改变。
更新后的集合如下图所示：
11找lowcost最小的节点，对应的t=4，选中的边和节点如下图。
12 加入集合U中。将节点t加入集合U中，U={1,2,3,4,7}，同时更新V-U={5,6}
13更新。对t在集合V-U中的每一个邻接点j,都可以借助t更新。节点 4的邻接点是节点 5。
C[4][5]=3
更新后的 closest[]和lowcost[]如下图所示。
更新后的集合如下图所示：
14找lowcost最小的节点，对应的t=5，选中的边和节点如下图。
15 加入集合U中。将节点t加入集合U中，U={1,2,3,4,5,7}，同时更新V-U={6}
16 更新。对t在集合V-U中的每一个邻接点j,都可以借助t更新。节点 5的邻接点是节点 6。
C[5][6]=17
更新后的集合如下图所示：
17 找lowcost最小的节点，对应的t=6，选中的边和节点如下图。
18 加入集合U中。将节点t加入集合U中，U={1,2,3,4,5,6,7}，同时更新V-U={}
19 更新。对t在集合V-U中的每一个邻接点j,都可以借助t更新。节点 6在集合V-U中无邻接点。不用更新closest[]和lowcost[] 。
20得到的最小生成树如下。最小生成树的权值之和为 57.
Prime 算法实现
1.构建后的图
2.代码
3.测试
package graph.prim;
import java.util.Scanner;
public class Prim {
static final int INF = 0x3f3f3f3f;
static final int N = 100;
// 如果s[i]=true,说明顶点i已加入U
static boolean s[] = new boolean[N];
static int c[][] = new int[N][N];
static int closest[] = new int[N];
static int lowcost[] = new int[N];
static void Prim(int n) {
// 初始时，集合中 U 只有一个元素，即顶点 1
s[1] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (i != 1) {
lowcost[i] = c[1][i];
closest[i] = 1;
s[i] = false;
} else
lowcost[i] = 0;
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
int temp = INF;
int t = 1;
// 在集合中 V-u 中寻找距离集合U最近的顶点t
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (!s[j] && lowcost[j] < temp) {
t = j;
temp = lowcost[j];
}
}
if (t == 1)
break; // 找不到 t，跳出循环
s[t] = true; // 否则，t 加入集合U
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 更新 lowcost 和 closest
if (!s[j] && c[t][j] < lowcost[j]) {
lowcost[j] = c[t][j];
closest[j] = t;
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int n, m, u, v, w;
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
int sumcost = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
c[i][j] = INF;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
u = scanner.nextInt();
v = scanner.nextInt();
w = scanner.nextInt();
c[u][v] = c[v][u] = w;
}
Prim(n);
System.out.println("数组lowcost:");
for (int i = 1; i <= n; i++)
System.out.print(lowcost[i] + " ");
System.out.println();
for (int i = 1; i <= n; i++)
sumcost += lowcost[i];
System.out.println("最小的花费：" + sumcost);
}
}
